【054】绝对值函数(2019年武汉4月调研)
据说武汉四月调研的卷子已经成为“网红”了。
这道题目难度较大,是这场考试的第12题。
例 设 f(x)=x^3+ax+b ,记 |f(x)| 在 [-1,2] 的最大值为 M ,求 M 的最小值。
解答1 注意到 2f(2)-3f(1)+f(-1)=12 ,由绝对值不等式:
12=|2f(2)-3f(1)+f(-1)|\le 2|f(2)|+3|f(1)|+|f(-1)|\le 6M
即 M\geq 2 ,取 f(x)=x^3-3x 满足条件。故 M 的最小值为 2 。
注 这个做法是厦门双十的某个大佬提出的...
解答2 |x^3+ax+b|\le M\Leftrightarrow -M\le x^3+ax+b\le M
\Leftrightarrow -ax-b-M\le x^3\le -ax-b+M ,考虑曲线 y=x^3 的图像:
注意到直线 y=3x-2 与 y=x^3 相切,且直线 y=3x+2 过 (-1,-1) 与 (2,8)
结合图像知此时两直线的截距之差最小,此时 2M=4 ,故 M 的最小值为 2 。