分词、隐马尔可夫模型及其训练

0引言

假设我们要统计一篇文章,或者一部小说里出现的关键词的个数,比如国家名称出现的次数。我们当然可以直接用字符串匹配的方式,看看文本里有多少个”中国”。

但是,这样做会有一个问题,有一些情况下,字符串“中国”还真不一定表示一个国家,比如“在这些革命家的心中国家命运就是自己的命运”,”中”和”国”虽然连在一起,但是不是一个词语,更不是一个国家名称。我们的统计肯定会有较大的误差。


1分词

这种误差如何减小呢?我们可以先对文本进行分词(word segment),把字符以词语为单元分组,形成有意义的文本片段,然后统计其中我们关心的词语。

与英语这类表音文字(书写的时候会将单词用空格分隔开)不同,中文的书写的时候,只是用标点符号将文本大致地切分开(表示标点符号两边的内容关系没有那么亲密,但是没有把文字按照词语进行分组。我们在阅读的时候,会下意识地进行一个操作,就是区分一句话中的”中国”到底是一个国家名称,还是别的什么东西;如果字符串“中国”是一个国家名称(也有可能是古代的一个国家),我们就快速的记住,在这句话中这是一个词语,这是一个国家,这是我们的祖国,等等;如果这个字符串不是一个国家名称,那是不是别的什么词语呢;好像这真不是一个词语(我们人在看文本的时候,经常也会搞不清这到底说的什么),那就是两个独立的字。

这只是一个非常粗糙的分词过程,非常的累人。有人就想,能不能让机器来分词呢?这样的话,一部《西游记》也能很快处理完。

研究者们在分词任务的自动化上花了很大的功夫,他们提出了各种各样的模型和方案,后面我们会介绍其中的隐马尔可夫模型。

我们再来切分一句话:

我是一个中国人。

我/是/一/个/中国人/。

我/是/一/个/中国/人/。

注意,通常来说,我们在分词的时候,会考虑标点符号的存在。这样做的目的,是便于对语句进行准确的切分。比如“我在地图上找到一个国家,是刚果(金)”,这句话中”刚果(金)”是一个国家名称的完整、正确地表述,缺了小括号中的部分,就没办法正确理解了。

另外,这里提供了两种切分结果,两种都不能说错吧?那么,哪一种切分方式更合理呢?有没有什么指标可以度量呢?什么是“最好”?不能空口白牙,得有一个肉眼可见的标准。如果想让大家都信服,还得是一个性质良好的指标。我们需要构建类似多元线性回归模型的残差平方那个和一样的指标,来表征对一句话的切分的质量。这个指标取值越大(小),切分的质量越好。

如何得到最好的切分结果呢?我们可以构建一个模型,这个模型会为我们提供若干切分方案,然后计算出每一种方案的切分质量水平,我们选择其中质量最好的就可以——这就是隐马尔可夫模型在分词任务中干的事情。请注意,这个场景是有监督的;隐马尔可夫模型还可以应对无监督的情况,就像聚类算法一样,可以为词语打上标签,这里就不讲了(主要是因为训练算法比较难,笔者还没弄明白)。

那么,隐马尔科夫模型长什么样呢?如何训练呢?


2隐马尔可夫模型

隐马尔可夫模型是概率图模型的一种,我们一般用概率图来描述。通常来说,我们的概率模型是以哈希表或者概率密度函数这样的形式存储的,比如朴素贝叶斯模型的概率就可以存储在key-value pair数据结构中——这样的概率模型如何展示呢?

2.1图是什么

有一种方法可以把概率模型可视化地展示出来,就是使用概率图(probabilistic graph)。概率图模型就指的是用图(graph)表示的概率分布。图是图论里的一个概念,表示由边(edge)连接顶点(vertex)而形成的结构,如图2-1。图可以看作是现实世界中事物以及事物之间关系的抽象表示,事物就是一个个节点,事物之间的关系就是连接它们的边。比如,一个家庭中的成员可以用节点来表示,成员之间的关系可以用边来表示:


图2-1 一个三口之家的关系示意图


实际应用中,图可以使用这样的结构来存储:


表2-1 一个三口子家的关系

表2-1中,关系一栏,表示成员A是成员B的”XX”。


2.2马尔科夫模型

我们换一个场景,用概率图来描述另外一个东西。假设我们要找工作,你下一份工作的岗位和上一份工作之间有没有关系呢?一般来说是有的,比如我现在是一个销售,那么我下一份工作很有可能还是销售,但是也有一定的可能性转行到其他岗位。我们可以想象,岗位之间存在转化的可能——我们可以统计出一个岗位job_k转换到另一个岗位job_k+1的概率。假设人们的职业只有(数据挖掘工程师,数据分析师,教师 )三种,而且三种岗位之间的转换概率关系如表2-2。


表2-2 一个人的岗位转换概率

如果知道一个人选择第一份工作时的概率分布,我们就可以推算出这个人接下来每一次换工作时,选择各种岗位的概率。假设第一份工作的概率分布如表2-3。


表2-3 各个岗位作为第一份工作的概率


基于表2-2和表2-3中的数据,我们可以画出一个概率图模型,如图2-2。岗位名称后面的是这个岗位作为第一份工作的概率(我们后面会叫它初始状态概率);绿色虚线表示,起点岗位会以一定的概率变为终点的岗位;黑色的实现表示一个人可能会继续呆在这个岗位上。


图2-2 岗位转换概率图


这个图描述的就是各个岗位之间的转移概率。这就是一个我们常说的马尔可夫模型。由于下一份工作干什么,只和现在的岗位有关系,这个概率图模型就是一个马尔可夫链。

对很多人来说,一辈子会换若干份工作,这样就形成了一个序列,比如"数据挖掘工程师-数据分析师-教师-数据挖掘工程师",表示一个人一共在4个岗位上工作过。

2.3隐马尔可夫模型

假设我们比较注重他人隐私,没有问这个人这些年都在什么岗位上工作过;但是我们又给他安了一个监控,知道他这些年做了些什么事情(请忽略剧情的不合理)。假设一个人可能做的事情有:写代码,看论,为数据库添加索引(为了简化问题,就这3种)。在生活和生产中,我们经常会遇到这样的问题:我们对系统所处的状态感兴趣,但是我们无法观测系统的状态;我们能观测到的,是系统的外在特征;而在不同的状态下,系统的外在特征是有区别的。

按照常理,工作岗位更换后,我们每天做的事情内容就会变化——在不同的岗位工作时,我们每天的生活内容是不一样的,所做的事情出现的概率分布是不一样的。

假设各个岗位上,一个人做事情的概率分布如表2-4。


表2-4 各种岗位工作内容的概率分布


假设一个人先后做了这么几件事: 写代码, 看论文, 看论文, 为数据库添加索引。我们能不能知道,做这4件事的时候,这个人分别是在什么岗位上吗?

我们能观测到的,就是一个行为序列——我们称这个序列为观测序列。而这个人的岗位序列是观测不到的——我们称这个岗位序列为隐藏状态,或者简称状态。隐藏状态之间的转移关系,以及各个状态生成外在特征取值的概率分布,就是我们常说的隐马尔科夫模型。


3隐马尔可夫模型相关的计算

3.1一个隐藏状态序列的概率

在使用隐马尔可夫模型的时候,我们需要基于可观测序列,去找到一个最合适的隐藏状态序列。是不是”最好”,得靠概率说了算。那么一个候选的隐藏状态序列的概率怎么算呢?

我们可以穷尽4个时间点上,这个人的岗位情况:

hiddenStat1 数据挖掘工程师 数据挖掘工程师 数据挖掘工程师 数据挖掘工程师

hiddenStat2 数据挖掘工程师 数据挖掘工程师 数据挖掘工程师 数据分析师

hiddenStat3 数据挖掘工程师 数据挖掘工程师 数据挖掘工程师 教师

...

一共是3^4=81种组合。

我们把4件事情发生时,可能的岗位情况可视化出来,如图3-1。DM是data mining 的简写, DA是data analysis的简写, TC是teacher的简写。图的一列节点,表示一件事情发生时,可能的隐藏状态;有向边表示隐藏状态的跳转关系。第一个状态取值,是使用初始概率分布随机挑选的,后面的就按照概率转移关系跳转。


图3-1 岗位序列的可能情况


然后,我们计算初每一个状态序列下,出现观测序列的概率。通常来说,我们假设一个人做的两件之情之间的相互独立的——这样做当然不完全符合真相,但是可以简化问题,而且实践中确实可以解释和解决问题,这种假设是可以接受的。

p(写代码,看论文,看论文,为数据库添加索引) = p(写代码) * p(看论文) * p(看论文) * p(为数据库添加索引)

=[p(数据挖掘工程师)*p(写代码/数据挖掘工程师) ]* [p(数据挖掘工程师->数据挖掘工程师)*p(看论文/数据挖掘工程师) ]* [p(数据挖掘工程师->数据挖掘工程师)*p(看论文/数据挖掘工程师)] * [p(数据挖掘工程师->数据挖掘工程师)*p(为数据库添加索引/数据挖掘工程师)]

式中, p(数据挖掘工程师)表示第一个岗位是数据挖掘工程师的概率;p(数据挖掘工程师->数据挖掘工程师)表示上一个岗位是数据挖掘工程师,这个也是的概率(就是岗位的转移概率);p(写代码/数据挖掘工程师) 表示一个人在数据挖掘工程师岗位上写代码的概率。

p(写代码,看论文,看论文,为数据库添加索引) = [0.5 * 0.5] * [0.7 * 0.2] * [0.7 * 0.2] * [0.7 * 0.2] = 0.000686

类似的,我们可以计算出另外15种隐藏状态序列下,观测序列出现的概率,然后选取其中概率值最大的,作为我们猜测的真实隐藏状态序列,也就是这个人的岗位序列。

3.2使用维特比算法挑选最好的隐藏状态序列

设想一个极端的情况:我们有这个人整个职业生涯的观测序列,也就是成千上万件事情组成的序列,我们还能不能用前面这种方式找出概率最大的隐藏状态序列呢?3^1000,这么多次的计算,实际上是没办法完成的。

有没有办法,可以减少计算量呢?有的。

有位叫维特比的学者,提出了一个算法,可以用来缩小这个任务的搜索空间,进而减小计算量。这个算法叫做维特比算法,是一个经典的动态规划算法。维特比算法认为,step1到step4的最短路径上,任意两个点之间的路径,都是它们之间唯一的最短路径。假设最短路径上有一个节点,那么这个节点把最短路径一分为二——这两条路径也是对应节点之间的最短路径。

假设概率最大路径是(DM, DA, TC, DM),那么,step1到step3之间的概率最大路径唯一,并且一定是(DM, DA, TC); 反过来讲,假如(DM, DA)是step1到step2的概率最大路径,那么,step1到step4的概率最大路径必然包含了(DM, DA),然后加上step2到step4之间的概率最大路径。这个定理是可以用反证法证明的。

我们可以确定的说,概率最大路径的起始节点必然是DM, DA, TC中的一个。我们可以求出从这三个节点出发的3条概率最大路径,然后选出3条路经中概率最大的,就是全局概率最大路径了。从step1.DM出发,有3个候选节点可以跳转: step2.DM, step2.DA, step2.TC。我们可以求出step.1DM 到step2.DM的概率:

p((写代码,看论文), (DM , DM)) = p((写代码,看论文)|(DM, DM) ) * p((DM , DM))

=p(写代码|DM) * p(看论文|DM) * p(DM ) * p(DM->DM)

= 0.5 * 0.2 * 0.5 * 0.7

= 0.035

类似的我们可以求出step1.DM-step2.DA 以及step.DM-step2.TC的概率:

p((写代码,看论文), (DM , DA)) = 0.5 * 0.2 * 0.3 * 0.2 = 0.006

p((写代码,看论文), (DM , TC)) = 0.5 * 0.6 * 0.2 * 0.1 = 0.006

这样,step1.DM到step2的概率最大路径就是step1.DM-step2.DM。这个路径有什么特殊的呢?根据我们前面看到的定理,step1.DM-step2.DM肯定在以step1.DM为出发点的概率最大路径上——这样的话,我们接下来的任务就是找step2.DM到step4的概率最大路径了。

找step2.DM到step4的概率最大路径,套路和刚才一样,先找step1.DM-step2.DM路径出发, 到step的3个路径中的概率最大路径。

重复前面的操作,我们就可以得到从step1.DM出发的概率最大路径S1了。

在这个过程中,我们在step2需要计算3个路径的概率,在step3需要计算3个概率,step4也是,一共9个路径的概率。

使用前面的策略,还可以找到从step1.DA出发的概率最大路径S2和从step1.TC出发的概率最大路径S3。S1, S2, S3中概率最大的就是我们要找的全局概率最大路径。在这个过程中我们一共需要计算3*9=27个概率。

这个算法的特点,就是"已找到的概率最大路径",帮助我们一步一步地找到下一个节点并延长这个路径。在这个过程中,我们每一步的计算,都可以直接使用之前的计算结果,而不需要像暴力方法一样,重复进行大量计算;另外,假如一个节点不在概率最大路径上,我们在后面的计算中,就不考虑从它出发的所有路径,这样可以大幅减小我们的搜索空间。

前面介绍的,是我们在知道隐马尔可夫模型的参数的情况下,如何基于观测序列求出最好的隐藏状态序列。那么,模型的参数如何去求呢?


4隐马尔可夫模型的训练(有监督情况)


我们把前面介绍的马尔可夫模型推广到一般情况,假设一个系统有N种状态(stat_1, stat_2, ..., stat_n, ..., stat_N),这N种状态的转移概率可以用一个矩阵来记录:

transProbMatrix =

[tp_1_1, tp_1_2, ..., tp_1_N;

tp_2_1, tp_2_2, ..., tp_2_N;

...

tp_N_1, tp_N_2, ..., tp_N_N

]

其中,第i行第j列的元素,表示系统从状态stat_i跳转到状态stat_j的概率。

系统的初始状态取值的概率分布是initProb = [ip_1, ip_2, ..., ip_n, ..., ip_N],第n个元素ip_n表示系统刚启动的时候,状态为stat_n的概率。


系统生成客观测现象记为ov,假设系统可能生成的观测值有M种,(ov_1, ov_2, ..., ov_m, ..., ov_M)。状态stat_n下,观测值的取值概率分布为:

ovProb_n = [ovp_n_1, ovp_n_2, ..., ovp_n_m, ..., ovp_n_M],其中ovp_m表示当体系处于stat_n时,生成一个观测值取值为ov_m的概率。


以上是一个完整的隐马尔可夫模型,我们用lambda 来表示整个模型。


假如我们观测到一个序列(o_1, o_2, o_3,...o_k),这个观测值序列出现的概率是多少呢?

p((o_1, o_2, o_3,...o_k)|lambda)

=p((o_1, o_2, o_3,...o_k), stat_path_1|lambda) + p((o_1, o_2, o_3,...o_k), stat_path_2|lambda) + ... +

p((o_1, o_2, o_3,...o_k), stat_path_F|lambda)


式中,stat_path_f表示一个长度为k的一维向量,表示一种隐藏状态组合;F=(N-1) * N * M,是组合的个数。我们求出每一种隐藏状态序列与观测序列共现概率,然后求和,就得到了这个观测序列的概率。

p((o_1, o_2, o_3,...o_k), stat_path_f|lambda)

= p((o_1, o_2, o_3,...o_k),|stat_path_f,lambda) * p( stat_path_f, lambda)

= [p(o_1|s_f_1) * p(o_2|s_f_2)* ... * p(o_k|s_f_k)] * initp(s_f_1) * transp(s_f_1->s_f_2) * transp(s_f_2->s_f_3) *...*transp(s_f_k-1->s_f_k)

式中,p(o_1|s_f_1) 表示状态s_f_1下,生成观测值o_1的概率;initp(s_f_1) 表示初始状态为s_f_1的概率;transp(s_f_1->s_f_2)表示系统有状态s_f_1转移到s_f_2的概率。

这几个概率都在模型参数lambda中,这样就可以计算观测序列的概率了。


HMM的训练有两种情况:有监督和无监督。有监督的意思是,每个观测值对应的隐藏状态被人工标记出来了;无监督指的是,我们人力不够,训练数据只有观测值序列。

有监督情况下,我们只需要用计数统计的方式,估计初始状态概率分布,转移概率矩阵和观测值的概率分布。比如常见的分词任务,我们可以统计出每一句话的第一个字符的词性,进而获得隐藏状态的初始取值的概率分布;我们可以统计每一个词性下,各个字符出现的概率分布;我们可以统计各个词性之间前后转换的概率分布——这样就得到了隐马尔可夫模型的三部分参数,我们就可以用维特比算法去为一句话分词了,效果还是不错的。

至此,我们就介绍完了有监督隐马尔可夫模型的训练。


5结束语

隐马尔可夫模型是非常有价值的一个模型,不光是在分词任务,它还在词性标注、命名实体识别、语音转换等等序列标注任务中得到了广泛的应用。无监督隐马尔可夫模型在金融领域非常有用,想发财的同志可以好好学一学,重点学习EM算法。

有监督隐马尔可夫模型有点像朴素贝叶斯,我们知道了现象与原因的概率关系后,基于观察到的现象把各类原因的概率算出来,然后以概率最大的那一个原因来解释现象。

注意:本文为李鹏宇(知乎个人主页 zhihu.com/people/py-li-)原创作品,受到著作权相关法规的保护。如需引用、转载,请注明来源信息:(1)作者名,即“李鹏宇”;(2)原始网页链接,即当前页面地址。如有疑问,可发邮件至我的邮箱: lipengyuer@126.com。

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