「初等函数在其定义域内必连续」的说法是对是错，为什么？

单点的连续性定义不需要存在定义区间！！！
单点的连续性定义不需要存在定义区间！！！
单点的连续性定义不需要存在定义区间！！！

必须承认很多国内的高数教材在误人子弟。包括Rudin，Zorich在内的一众数学分析教材都采用如下定义：在装备了通常拓扑的实数子集 E\subset\mathbb R 上，函数 f:E\to\mathbb R 在 p\in E 连续，若：

\forall\, \varepsilon >0\ \exists\, \delta>0\ \forall\, x\in E\ (|x-p|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(p)|<\varepsilon)

这个定义完全不要求 p 在 E 的一个区间里，也不涉及任何求极限的过程。如果 p 是 E 的孤立点，则由定义 f 在 p 显然是连续的；如果 p 是 E 的极限点，则 f 在 p 连续当且仅当 \lim_{E\ni x\to p}f(x)=f(p)

正确，不过要看连续的定义是什么。

下面看卓里奇《数学分析》中的定义。

这里U_E(a)=E∩U(a)，U(a)是通常意义的邻域。我看到上面有人争议孤立点处函数是否连续的问题，这本书的观点应该认为是的。

用极限语言写就是

这与某些「高数教材」上面说的可不一样哦。虽然它们是为了通俗，但是确实误导了许多人。。。

正确。

即使是使用极限来定义连续的菲砖，也明确指出该定义适用于聚点；孤立点并未讨论。

考察定义在以 x_0 为聚点的某个区域 \mathcal{X}=\{x\} 内的函数 f(x)；并设点 x_0 本身属于 \mathcal{X}，于是在这点函数有确定的数值 f(x_0)。

（附注）

我们以后通常要考察在区间 \mathcal{X} 内确定的函数；区间中的一切点都是它的聚点，于是对于其中的任何一点都可以提出有关连续性的问题。

第二次更新内容：

在rudin的数学分析中，连续的 \delta-\varepsilon 定义4.5是独立于“极限等于函数值”给出的，并且明确指出孤立点是连续点，而“极限等于函数值”只是一个针对聚点的推论4.6 ^[1]

同时也证实了在第一次更新中我认为对连续的定义有明显区别于极限的看法

第一次更新内容：

关于孤立点：
这里对连续的定义和根据函数值等于函数极限定义的方式好像有所区别（存疑）。
但对于孤立点是否连续，大家可以看一下我列出的参考文献或者同样认为连续的 @罗心澄 的回答（我没有学过拓扑所以看太不懂，所以我只根据参考文献3列出了一个应该可行的不需要更多知识的反证法，orz）

原答案

先说结论，「初等函数在定义域内连续」是对的。但对于初学者来说，其描述不够准确，其准确的说法是「初等函数在定义域每个点上连续」或者「初等函数在定义域的各个区间和各个孤立点上分别连续。」

本文将用很初级的数学来做出解释

首先要明确1.函数在点连续和2.函数在区间上连续的区别：

1函数在点连续可分为在聚点连续和在孤立点连续

先给出聚点和孤立点的定义：

聚点定义 ^[2]： 设点x_{0}\in R，数集\chi_\lambda\subseteq R，若\forall\delta>0,有\mathring{U}(x_0, \delta)\cap\chi_\lambda\ne\varnothing，则称x_{0}为\chi_\lambda的聚点
孤立点定义： 设x_0\in\chi_\lambda,\chi_\lambda\subset R,\exists\delta^{*}>0,使得\mathring{U}(x_0, \delta^{*})\cap R=\varnothing,则x_0是孤立点

下面给出在点连续的定义并依次讨论聚点和孤立点的连续性：

函数在点 x_0 （没有指定点的性质，对任何点都成立）连续的定义：
\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,使得\left| x-x_0 \right|<\delta,\left| f(x)-f(x_0) \right|<\varepsilon

1.1对于聚点

显然，满足点连续定义的聚点为连续点

同时，对于聚点的连续还可以把根据分成单侧连续分别讨论：

对聚点的各类情况做以下说明 ^[2]：

• 当某聚点是端点（边界点），此时称其为左（右）聚点。我们说在该点连续是指：在该点单侧连续：

对于开区间的端点，若该点有极限，则我们都可以补充定义使之连续，而且我们一般都默认如此理解开区间端点的连续性。（由此一来，在讨论连续性时，一般不需讨论区间到底是开还是闭）
对于闭区间的端点，若满足单侧连续则称之为连续的

• 当某聚点是内点，我们说在该点连续是指：在该点双侧连续。

1.2对于孤立点，可以基于上述连续的定义，用实变函数中的语言或在拓扑学观点下严格证明 ^[3]其连续。不过在这里限于笔者的能力，只能看懂不需要更多概念地通过函数在某点连续的分析定义进行证明的反证法 ^[4]：

补充：在rudin的数学分析中，连续的定义4.5是独立于“极限等于函数值”给出的，而“极限等于函数值”是一个推论4.6，并且明确指出孤立点是连续点

2.区间连续

2.1在区间 χ 内连续的定义是：在属于区间 χ 的每一个内点都连续。

2.2在区间 \chi 上连续的定义是：在区间内连续且在端点（若是闭区间的话）连续

需要注意一点：讨论一个函数在多个区间上连续往往是没有意义的，因为多个区间的并集未必仍然是区间。所以如果定义域由多个并集运算后非区间的区间构成，那应该说在各个区间分别连续。例如 tanx 在 π/2 处间断，所以我们不可以说他在区间 （0，π） 上连续，而且这个区间并不属于定义域，尽管他和定义域有交集。

另外，一些教材定义了定义区间：

定义区间：属于定义域的区间

借助定义区间我们可以较容易的描述定义域：

定义域：定义区间与孤立点的总和

有了以上准备工作，现在可以分析题主的问题了：初等函数是否满足在定义域连续?

根据连续函数的四则运算和叠置运算定理

由于基本初等函数在定义域的每一个点（可以是聚点和孤立点）都连续，那么它们通过四则运算和叠置得到的初等函数也有在其定义域的每一点都连续。

结合上文讨论可知初等函数在定义域的各个定义区间上和各个孤立点上分别连续。方便起见我们亦可以统一说「初等函数在定义域上是连续的」。而且我们平时提到「初等函数在定义域上连续」时，我们确实都默认在说：「初等函数在定义域每个点上连续」或者「初等函数在定义域的各个区间和各个孤立点上分别连续」

在最后，我想对其他回答表达的观点做一点评价，防止对初学者造成错误干扰，当然如果有异议也欢迎讨论批评指正，毕竟我也只是个正在学习的很菜的本科生。。。

1.关于定义区间：一些教材定义了"定义区间"的概念，这个概念是常用的，而且有其方便性，比如根据某区间是否是定义区间就可以判断初等函数是否在该处连续。

2.关于孤立点：

这里对连续的定义和根据函数值等于函数极限定义的方式好像有所区别。（存疑）

但对于孤立点是否连续，大家可以看一下我列出的参考文献或者同样认为连续的 @罗心澄的回答（我没有学过拓扑所以看不懂，所以我只根据参考文献3列出了一个不需要更多知识的反证法，orz）

一些书（如同济）说初等函数在定义区间连续。但是读者要注意，这句话不等同于"初等函数仅在定义区间连续，因为是需要算上孤立点的。

因此一些答主对其举的例子的解读个人认为有误，因为 y=\sqrt{sin^{2}x-1} 虽然没有定义区间，但是在孤立点上是连续的，所以仍在定义域上连续

3.这位同学可能不知道在端点连续实际就是指单侧连续

4.我们说基本初等函数在定义域连续时，对于那些定义域不仅仅是一个区间的函数（如 y=tanx ），这时我们实际上在说它们在每个定义区间上连续

参考

1. ^Rudin 数学分析
2. ^ ^{a b}菲赫金哥尔茨 微积分学教程
3. ^伊继金. 拓扑学角度下的函数连续性[J]. 科教文汇(20期):134-134.
4. ^李林曙. 初等函数在其孤立点上连续吗?[J]. 中国远程教育, 1984(5):13-13.

孤立点的存在不影响讨论连续性。

实变函数理论里甚至会讨论“一个定义域不包含任意一个区间的函数”的连续性。

比如说实变函数一个定理：设可测集E上有可测函数f(x) ，则对于任意正实数ε，存在E的可测子集F，使得m(E\F) <ε且f(x) 限制在F上是连续的。（m为Lebesgue测度）

我们知道狄利克雷函数

f(x) = 1 if x∈[0,1]∩Q

or f(x)=0 if x∈[0,1]\Q

这个函数可测，而且由于有理数和无理数的稠密性，它在任何一个区间上都不连续。而依据上面的定理，存在一个[0,1]的相当大的可测子集使得f(x)在上面连续，那么这个子集是什么呢？

答案是[0,1]\Q，也就是[0,1]上的整个无理数集。而且这个连续不是因为定义域不连续而自动满足的，而是因为你在新的定义域上任取一个有极限（且极限在新定义域内）的序列，其函数值序列都必然收敛到那个极限点的函数值上。

或者直接利用极限定义，可以把连续定义这样写：

对函数f(x)和其定义域E，称f(x) 在E上连续当且仅当

∀x∈E, ∀ε>0,∃δ>0,s.t.∀x'∈E，|x-x'|<δ→|f(x)-f(x')|<ε

可以看到，这个定义并不要求定义域有连续性。

cy，等我系统学了泛函、拓扑或实分析再润色一下，并补充回答文末的疑问。

先说结论：讨论问题范畴不一样，对错也不一样

1. 从工科的高等数学和考研高数的角度来看，改成定义区间才对，不然就是错的。

但是从现代数学体系角度来看，定义域也算对。

因为定义域存在孤立点的问题，而定义区间把定义域中的孤立点排除在外。

高等数学讨论连续性的前提条件，要求在 x_0 的邻域内有定义，即要在 x_0 处有定义且 x_0 的去心邻域也有定义。

设置这个前提的原因很简单。高数里连续定义的公式就是 \lim_{x \rightarrow x_0}{f(x)}=f(x_0) ，等式两边需要都有意义。自然而然要求 x_0 邻域内有定义，而邻域和区间是同一类型的，和定义域却不是一个东西。初等函数的定义域是一种实数集合，集合里有离散的实数也有连续的实数。而邻域和区间是连续实数的集合，要求更严格了。

2. 从现在建立了实数完备性的数学角度，连续的定义是要比高等数学更广泛的，所以说这句话对的前提是超纲考研数学，可以算泛函分析里的东西。

具体定义在下面无无的回答里

里面的乍一看晦涩，其实一点都不难。度量空间是一种满足某些性质的集合。

在rudin的实分析中，我把定义重点拎一下，只要求满足

\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0. 对于所有满足d_X(x,x_0)<\delta的元素x，有d_Y(f(x),f(x_0))<\varepsilon 即可以说函数在 x_0 连续。

这里的 d_X和d_Y 指的是集合中俩元素的距离，在初等函数里可以视作数值差的绝对值，即 |x-x_0| 和 |f(x)-f(x_0)| 。

这么一看非常像函数在点 x_0 极限的定义，但并不一样，极限要求去心邻域内有定义，这里是不去心的即邻域，另外这里只需要 x_0 处有定义，不需要管领域内有无定义。

也就是说对于孤立的点，所以满足 d_X(x,x_0)<\delta 的元素只有一个，那就是 x=x_0 ,然后代入上面的定义，就满足连续性。若是定义里写成 0<d_X(x,x_0)<\delta ，那就意味着，如果 f(x) 在 x_0 去心领域内无定义的话，不能说其连续。

但是rudin的实分析不仅没有限制度量空间中的元素距离大于于0，而且针对距离为0的情况，即孤立点还做了特别的说明，看起来有点画蛇添足。

没学过泛函分析或实分析的人，在函数里看到一个离散点，直觉上绝对不会说函数在这个点连续。

但是rudin在实数完备性范畴里把连续这一概念稍做了扩展，把离散点纳入连续的定义中，并且还针对这种情况特地做了说明，其背后原因在查阅资料后，看起来似乎和拓扑有关系。具体是什么原因，如果在连续的定义里，添加元素的距离要大于0的限制在拓扑中会造成什么影响。。等我几个月，充个电再回来分析。

错误的，答案如图所示

考虑到离散点的情况，一般会说成「初等函数在其定义域内的任意一个区间上连续」。

证明过程是依据用极限定义的函数连续，一般的高数教材上都有，可以参考。

按现行主流高等数学（包括数学分析）教材的处理方式，连续是通过极限来定义的，而极限以函数在一点某去心邻域内有定义为前提，于是，对于诸如 f(x)=\sqrt{\sin x-1} 这样的定义域\left(x=2k\pi+\frac{\pi}{2}，k\in\mathbb{Z}\right) 为离散点的函数，并不存在讨论连续性的余地。

可以是对的。

首先证明一些最基本的函数是连续的。然后如果两个函数连续，那么他们的和/差/积/商也各自连续。然后证明连续函数的复合也连续。

看到一个反驳，反驳的核心在于认为孤立点没有连续性可言。问题是当我们讨论孤立点的时候，我们到底在谈论定义域上的哪个拓扑？显然对于 \mathbb R 的子集 X ，如果我们有两种不同的限制模式来得到 X 上的拓扑：

• 考虑所有包含在 X 中的那些开区间： \tau_X:=\{U\in\wp X:U\in \tau_\mathbb R\}
• 考虑所有限制在 X 上的那些集合： \tau_X':=\{U\in\wp X:\exists V\in\tau_\mathbb R(U=X\cap V)\}

在第一种定义下，有离散点的话当然不是连续的，但是在第二种定义下是。此处定义的连续性按照如下方式理解：

f:(X,\tau _X)\to (Y,\tau_Y) 是连续的，当且仅当 \forall U\in \tau_Y (f^{-1}(U)\in \tau _X)

事实上没有拓扑就没有连续性，在谈论确定定义域的问题的时候不指明拓扑是可以的，因为大家都知道你在谈论实数上的开区间拓扑，问题是变动定义域的时候就不再如此了。希望各位学数学的同学意识到数学是一个 context-sensitive language。

正确。

初等函数都是连续函数，

连续函数自然在定义域内是连续的。

六个基本初等函数在其定义域内必连续已经证明过，可以搜搜资料。又有极限的定义满足四则运算，而初等函数也是在基本初等函数四则运算的基础上存在的。

错的

是错的，初等函数在其定义区间内连续，而函数的定义区间与函数的定义域并不完全相同，因为函数的定义域有时是由一些离散的点及一些区间构成的，对于定义域内的这些孤立的点，根本谈不上函数的连续问题，而只能在定义域内的区间上讨论连续性。这些区间，我们称之为函数的定义区间。初等函数在其定义域内的区间（即定义区间）上是连续的。

应用高等数学理工类第四版31页