初等函数以外的函数是什么样子的？

初等函数好少啊.jpg

仔细思考一下，初等函数构成的集合是不是跟R等势啊...那真的好少

这个问题问的好，我在高一刚学习基本初等函数的时候，也问过这个问题：“初等函数以外的函数是什么样子？”但是当时老师没有解答，并告诉我，你以后一定会学到的，现在来看，他说的对。

Q1：有哪些典型的非初等函数的例子呢？这些函数有什么实际含义吗？

典型例子就是人们尝试去计算椭圆的弧长：

x=asin\theta,y=bcos\theta

dx=a cos\theta d\theta,dy=-b sin\theta d\theta

l=4\int_{0}^{a}\sqrt{dx^2+dy^2}=4a\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-e^2sin^2\theta}d\theta

其中 e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} 是椭圆的离心率

这个积分没有初等函数的有限次组合的解，但是计算中带着这么多积分符号很不方便，那怎么办呢，这时候就需要引入特定的名称表示他们：

第二类完全椭圆积分函数

EllipticE(m)=\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-msin^2\theta}d\theta

这样椭圆周长 l= 4aEllipticE(e^{2}) ，可以看到，离心率（形状）不变的情况下，正比于半长轴。

想知道大小查表就行了，可以简单验证一下，当离心率 e=0 时，就是圆，此时周长= 2\pi a

椭圆周长公式成功收敛到圆的周长公式 l=2\pi a 。

Q2：那么椭圆积分有什么用呢？

一些其他比较复杂的积分，且无解析解的情况

例如：计算 \int_{}^{}x\sqrt{x^3-1}dx ，是不是看上去很简单，但其实他也是没有解析解的，但可以用椭圆积分表示：

=\frac{2 \left(\left(x^3-1\right) x^2+(-1)^{2/3} 3^{3/4} \sqrt{(-1)^{5/6} (x-1)} \sqrt{x^2+x+1} \left((-1)^{5/6} F\left(\sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{-i x-(-1)^{5/6}}}{\sqrt[4]{3}}\right)|\sqrt[3]{-1}\right)+\sqrt{3} E\left(\sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{-i x-(-1)^{5/6}}}{\sqrt[4]{3}}\right)|\sqrt[3]{-1}\right)\right)\right)}{7 \sqrt{x^3-1}}

其中F是第一类不完全椭圆积分，E是第二类不完全椭圆积分， \sqrt[3]{-1} 代表其辐角。

当然，建模上/工程上如果需要计算这种积分，直接用Simpson等格式来数值计算就行了。

Q3：那么除了椭圆积分，还有其他的哪些非初等函数呢？

大学课程概率论和数理统计最常用的两类函数

贝塔B函数，又称第一类欧拉积分：

B(P,Q)=\int_{0}^{1}x^{P-1}(1-x)^{Q-1}dx

伽马函数，又称第二类欧拉积分

\Gamma(x)=\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt

例如高中接触到的正态分布，那一大坨公式，就可以简介的用 \Gamma(x) 来表示。

此外他们之间还有一些有趣的运算规律：

\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)

B(P,Q)=\frac{\Gamma(P)\Gamma(Q)}{\Gamma(P+Q)}

Q4，以上都是定积分相关的非初等函数，有没有其他途径的来源?

还有一大类问题，定义出了很多非初等函数，例如贝塞尔函数，安格尔函数等等

是数学家在解决部分微分方程时，发现他们也没有初等函数解，在后续学习常微分方程，偏微分方程，或者说数学物理方程的课程时，会大量用到哦

例如 \frac{dy}{dx}+y=0 的解很容易就知道是 y=Ae^{-x}

但是形如

x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-n^2)y=0

并没有一个初等函数的解，那怎么办呢？

第一类贝塞尔函数，就诞生了：

J_n(x) 即表示上述常微分方程的解。

纯手打，无复制，如果解决了你的疑惑，希望点个赞支持一下哟~

可能连续也可能不连续。但是不连续的比连续的多的多。

以下皆为非初等函数。

初等函数和实数集是等势的，不说初等函数，就是连续函数也和实数等势，而实变函数是比实数集高一阶的无穷，阿列夫二。所以初等函数只是实变函数的一小部分。

一，增长率极为迅速的函数。

迅速到它能大于任何有限层幂塔。比如y=2↑↑x，y=2↑↑↑x等等，我们构造的大数函数都是非初等函数。这是比较容易构造的非初等函数。

二，魏斯xx函数(没记住名称)。

就是越放大函数越陡频率越大的那个，不可能看到光滑的曲线。

三，伽玛函数

也就是我们众所周知的阶乘，n!=n(n-1)!，其中有n!=Γ(n+1)，定义是∫t^x/e^t，每个负整数都是奇点，连续函数。

于是我们就能推出排列组合，半阶乘，双阶乘，阶乘的初等嵌套等也是非初等函数。

四，某些初等函数n阶积分。

比如误差函数∫e^(-x^2)，∫e^(-x^3)，∫2^2^x等等。

五，非初等函数与初等函数的加减乘除乘开方对数及其初等复合也是非初等的。

六，一些初等函数构造的级数和乘积是非初等的。

比如黎曼函数，和∑x^n/(n+1)*n!，贝斯函数B(x)=1/e*∑n^x/x!，∑a^x/x^n等等。

其实通过极限和微积分构造出来的函数测度是阿列夫一的阿列夫零次方，即和实数集等势，初等函数的测度是任意的阿列夫一^n之并，也和实数集等势。

七，处处不连续的取值函数。

比如我们定义f(x)，x是有理数y=1，x是无理数y=0，也可以x是超越数y=1，x是代数数y=0等等。同样的，我们只定义这个函数在超越数范围里面，把超越数分类成两个皆不可数集合，一边函数值0另一边函数值1。这样的非初等函数便构造出了阿列夫二个。

beta，gamma，三类椭圆函数。《A Course of Modern Analysis》了解一下。

如果你不是分析学的学生，你几乎只会在基础课程中接触到非初等函数

要么是反例，比如dirichlet、riemann、weierstrass啥的（数学分析里就会学，考完忘掉就好

要么是方程的解，heat、wave、laplace、poisson、blahblah（没学过数学物理方程所以不要问我

你知道我以前特别会对付性质不好的函数，来我和你说回字的四种写法啊，从连续开始，我们有一致连续，alpha，Lipschitz，绝对连续，bounded variation，almost C^1, C^1, C^k，C^\infty，C^\omega……meromorphic, holomorphic, entire, complex analytic

现在……

假设我们有一个复代数簇……

只会多项式了……

其实是瞎说，连续函数还是很重要的……因为在拓扑空间上的各种morphism和induced blahblah都是需要连续函数的

扯远了……欸其实……in general 拓扑空间之间的连续函数也不是初等函数啊……

用积分，不定积分表达的，绝大部分都不是初等函数。

最著名的，椭圆函数。

常见的，gamma 函数。

很多啊，比如取整函数啊，椭圆周长啊

这就很多嘛：

比如：

正割函数

余割函数

反正割函数

反余割函数

这个也很有意思 y=\sin(\sin x)

如果用极坐标就更丰富了

当然要注意，这以下的表达式其实都是函数 r=r(\theta)

r=4\theta

阿基米德螺线

这个也好玩 r = 3+a\sin \theta

如果 a 从-10取到10会出现这样的变化：

比较魔性的

歪掉的双拱线

r= \sqrt{\sin 2\theta}

这些就叫不上来名字了，野生函数

r=8+3 \csc \theta

评论区朋友指点 @Aegis Cruiser：它叫Nicomedes蚌线，可以用来三等分任意角

一朵小花 \mathrm{r}=\sin \theta+\left(\sin \left(5 \frac{\theta}{2}\right)\right)^{3}

比较酷炫

r=(\cos 5 \theta)^{2}+\sin 3 \theta+0.3

这些奇奇怪怪的函数看看就行了。基本上都没啥用。

Cantor三分集的示性函数、整环Z[sqrt(2)]的示性函数、Dirichlet函数（Q的示性函数）、数域Q[sqrt(2)]的示性函数等

\begin{eqnarray} y= \begin{cases} 1 &x<0 \\ 0 &x\ge 0 \end{cases} \end{eqnarray}

一个简单的例子。

现实中太多了。

比如济南市区平均温度函数

推荐一本书叫做特殊函数概论，比较著名的非初等函数大概上面都有。

其他回答提出了很多“有用”但不初等的函数的例子。作为另一个拓宽思路的方向，还有很多“没有用”的不初等的函数。这些函数的性质实在是太差了，在现实当中找不到什么应用，最大的用处可能是在我们讨论“好”函数的优良性质的时候，被用作反例来指出不是所有函数都具有相同的性质。下面用力求通俗、不求精确的语言介绍几类“性质很差”的函数。

1. 处处连续但处处不可导的函数

考虑函数 f(x)=x+0.1\sin(20\pi x) 。如果我们让 x 、 y 坐标轴的分度值都为1，这个函数画出的图像大概就是一条斜的直线，但是比起一次函数来说，由于加入了 0.1\sin(20\pi x) 这一部分，看上去就稍微有一点“糙”。

不过我们知道，只要把坐标轴的分度值改成0.1，我们就可以对局部的波动看得比较清楚。

如果我们把分度值改得更小，看到的一小块函数图像就平滑得几乎又成了一条直线。

不要小瞧司空见惯的“放大以后就变得平滑”的特点，因为我们高中数学讲的导数正依赖于此。给你第一张图，要作原点处的切线，会比较困难。而放大到第二、第三张图之后，原点附近平滑下来了，这才好画出切线。

高中课本没有告诉你的是，导数不总是存在的。如果给你一个函数，怎样放大都还是毛毛糙糙，要画切线就会无从下手，导数就会不存在，谓之“不可导”。有些非初等函数就能做到处处有定义但处处不可导，一个著名的例子是魏尔斯特拉斯函数 W(x) ，它的图像大概是这样，无论怎样放大都是“粗糙”的。（搬自网络，侵删）

2. 有没有性质更差的函数呢？有的！

上面这幅图里的函数虽然很怪，但是图像好歹是一条连续的线。（关于连续性这个特点这里不做严格的数学定义，直观理解就行了。）
不是所有函数都是处处连续的。像反比例函数在原点处显然不连续。阶梯函数也有许多不连续的地方。

如果说在反比例函数和阶梯函数那里，我们总还能找到不少的连续的段，而不连续点只是例外的话，有的非初等函数就活生生把不连续性变成了常态，做到了处处不连续。比如狄利克雷函数： D(x)=\begin{cases}0\quad x是无理数\\1\quad x是有理数\end{cases}
可以想象，这个函数总是在有理数的1和附近无理数的0之间反复横跳，而且不经过0和1中间的任何值，显然是不连续的，而且是处处不连续的。对于这样的函数，就连画图都变得困难了起来——没有任何一只手或者一个软件能够完美地画出这个图像，因为需要点上无数个间断的点。

3. 有没有性质更差的函数呢？有的！

刚才的狄利克雷函数，虽然无法完美地画出图像，但是我们仍可试图想象它“理应”有什么样的图像。我们知道虽然有无限多个点，它们都集中在 y=0 和 y=1 两条横线上。我们用无限尖的理想的笔来绘画，这样的笔画出来的点大小为0。

我们可以想象，如果我们用这个笔画一个点，那么它应该小得看不见。画两个分开的点，也应该小得看不见。只要我们画的点是有限多个，那么就应该看不见。我们说有限个点的“总长”是0。
但是如果我们画出连成一整条线的无数个点，我们就可以看到一条线了，它有非零的总长。如果从这个线上面只去掉一个点，这个洞应该是无限小的，我们会看不出来，看到的还是一整条线，它的总长不变。只挖掉有限多个点，总长还是不变。

现在我们来看 y=1 和 y=0 两个地方我们会画出什么。 y=1 可能会让我们犯难，因为这里的点有无限多个，但又不够一整条线那么多（有理数只是实数的一部分）。这里我可以告诉你，根据更高级的数学知识，有理数画出来的“总长”应该是0。因此， y=1 上虽然有点，却还是不够多，我们什么也看不见，仿佛没有点一样——每个单个点的大小是0，这不无可能发生。
那么 y=0 上呢？我们知道 y=1 和 y=0 两个地方的点是互补的， y=1 上有的 y=0 上相应就没有。既然 y=1 上点的“总长”是0，那么在 y=0 上我们也就只挖去了“总长为0”的一部分，“几乎还留下了完整的一条线”，“总长”不变，看不出来有挖过洞。
所以最终得到的图像应该就是 y=0 一条线。虽然这没有反映出有理数处的取值，但确实忠于了视觉。

总之， D(x) 的图像虽然无法完美地绘制，却仍可以进行合乎逻辑的想象。这基于的深层原因是，有理数点的“总长”是“可以测量”的，其等于0；无理数点的“总长”也是可以测量的，就等于数轴的长度。嗯，虽然口语里会说“深不可测”“长得看不到头”，但是对于无理数对应的点画出来的（抠掉了有理数的）线，我们还是说它的“总长”是可测的，就等于无限大。

0到1之间画出来的一条线，也就是区间 [0,1] 是可测的，长度是1。

再想象一下康托尔集：我们先从 [0,1] 这个区间画出的一段线段（长度为1）出发。第一步把中间三分之一挖掉，留下两边两段；第二步再把剩下每一段的中间三分之一挖掉，剩下四小段……以此无限进行下去，最后得到康托尔集。康托尔集也是可测的，“总长”是0。可以这样理解：第一步后剩下长度为 \frac23，第二步后剩下长度为 \frac23\times\frac23=\frac49，无限步后剩下长度是 \frac23 的无限次方即0。进而，康托尔集的每一个子集，作为它的一部分，也是可测的且“总长”为0。这里面可以找出许多奇奇怪怪的点集。

总而言之，我敢打赌，你能想象出来的任何一个点集都有可测的“总长”。

然而，可能真的存在一些真正“不可测”的点集。并不是它们长到无法测量，而是即使我们允许“无限长”这个长度，我们都还无法给这些点集找到一个合适的长度。只要承认一个 稍有争议的公理，就有办法证明这样的点集一定存在。其中一种点集 E 满足：如果它有“长度”，那么它的“长度”大于0，且我们可以把 [0,1] 分成无限个与 E 一样长的子集——但是如果这是真的，则 [0,1] 的“长度”应是 E 的“长度”的无限倍，即也只能是无限长。因此，我们只好说我们定义不了 E 的长度：这个点集是不可测的。

相应于 E 我们构造一个函数：

\epsilon(x)=\begin{cases}0\quad x不属于E\\1\quad x属于E\end{cases}

好，现在我们试着用前面说的对 D(x) 的那种方法画一下函数图像。然后我们就会发现，对 \epsilon(x)=1 的部分，我们就连我们会看到什么都无从下手。这是一类我们连想象都几乎无法想象的函数——不可测函数——之一。

好消息是，如果不是费尽心思寻找，你甚至很难列出一个不可测函数。这样的函数就存在于广袤的函数空间当中，做着沉默的大多数。你认识它们也好，不认识它们也好，它们就在暗处注视着你。

叫非初等函数，大部分分段函数都不是初等函数，比如地板函数 f(x)=[x] (向下取整)

除了六类基本初等函数通过有限次加减乘除复合运算构成的函数，其他的都不是初等函数，所以非初等函数比初等函数“多得多”

也就是说你在纸上随便画出一道曲线都大概率是初等函数以外的函数