函数在闭区间内可导能否推出其导数在该区间连续？

这种问题参考汪林的《实分析中的反例》，反例专家。。。

首先已经有人提到了f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac1x & x\neq 0\\ 0 & x=0 \end{cases}，这个函数是在0点可导但导数不连续。利用这个函数可以构造（作替换x \to x(1-x))在区间端点可导但导数不连续的函数，然后再把这个函数压缩一下定义到每个三分区间上，就得到了一个在 Cantor 集上满足条件的函数。当然也可以定义到 fat Cantor set 上。

这样的函数叫做 Volterra 函数（wiki Volterra's function）。

f构造的想法是这样的，首先你得知道\sin \frac1x这个函数，它在原点不连续，而且非jump discontinuity（导函数不会有这样的间断点）。然后用光滑的x^2把它挤到原点使它在0点可导（这个函数被加在了\pm x^2之间）。类似的如果想构造两个这样的点，\sin \frac1{(x-1)(x+1)}在±1处有类似\sin\frac1x这样的性质，然后用类似x^2但具有两个极值点的(x-1)^2(x+1)^2把这个函数的不可导点挤压成光滑的。

不可以，但我们有下述最佳结果

命题. 设f:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}是函数，f 在[a,b]上可微，那么f'(x)的连续点在[a,b]中

见周民强《实变函数论》 P54 思考题5

可以见这个问题：

“函数可导，其导函数是否一定连续”？这个问题的答案是，不一定连续。

有些同学我估计审题就审错了，把这个问题看成了“可导是否一定连续”。排除开这种粗心大意的情况，这个问题还是有点反直觉。首先，看着函数研究它的导函数，本身就隔了一层，需要一些想象力；其次，这个导函数并不普通。

1 可以间断的导函数

讲到不连续，我们脑海中的图像应该是这样的（可去间断点）：

或者是这样的（跳跃间断点）:

还有这样的（无穷间断点，我觉得看起来就好像飞机的尾迹）:

但是这三种间断点都不能作为导函数，换句话说，存在这三种间断点的函数没有原函数（文章最后会给出证明）。

只有下面这种间断点可能有原函数（振荡间断点）：

至此，我们总结一下（原函数存在法则还是很重要的，虽然《高等数学》同济版上没有提到）：

• 可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点没有原函数
• 振荡间断点可能有原函数

由于导函数存在的间断点的特殊性，并且振荡间断点是很难想象的（间断点的图像实际是画不出来的，现实中我也想不出有啥对应物），所以我们往往觉得“导函数必定连续”。

下面让我们来研究一下振荡间断点以及原函数存在的情况。

2 振荡间断点的产生

sin(x) 是一个我们非常熟悉的周期函数。它的周期为2k\pi：

而\frac{1}{x}是非一致连续的函数，这个函数有个特点：

具体关于一致连续的问题还请参看 函数连续和一致连续有什么区别？开区间上的连续函数不一定是一致连续的，为什么？ 这篇文章。

所以这两个函数结合起来之后，成为f(x)=sin(\frac{1}{x}) 之后产生了化学反应，x 越靠近0，其震荡越厉害，可以自己动手试试：

此处有互动内容， 点击此处前往操作。

最后就形成了这样的图像，我们已无法判断函数在0点附近的几何图像：

此时函数在0点振荡间断了。关于f(x)=sin(\frac{1}{x}) 在0点不连续的代数证明可以参看 如何通俗解释海涅定理？ 这篇文章。

3 从振荡间断到连续

将上述函数稍加改造：

因为-1 \le sin(\frac{1}{x}) \le 1 ，所以-|x| \le xsin(\frac{1}{x}) \le |x| ，所以我们用夹逼定理很容易证明我们在上图中构造的f(x) 在0点处是连续的。

当我用夹逼定理来看待f(x) 的时候，从几何上看就好像夹板把这个弹簧的压缩了一样，下面这个互动我可以玩一天：

此处有互动内容， 点击此处前往操作。

可以看出在0点附近，f(x) 被夹板压缩了，想振荡也没有空间振荡了，被逼的连续了。

我们继续推一下:

\begin{eqnarray} \left.\begin{aligned} -|x| \le xsin(\frac{1}{x}) \le |x|\\ h(x)=-|x|\\ g(x)=|x| \end{aligned}\right\} \implies \frac{h(x)-h(0)}{x-0}\le \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \le \frac{g(x)-g(0)}{x-0} \end{eqnarray}

从上面这个式子我们可以看出，f(x) 的导数和h(x) 、g(x) 的导数大有关系。

根据夹逼定理，若夹逼的h(x) 、g(x) 函数在此点导数存在且相等，则函数在此点可导，导数值为夹逼函数在此点的导数值,我们暂且称它为夹逼定理之导数版。

很遗憾，上面的看法是错误的，根据夹逼定理，h'(0) 与g'(0) 不存在的时候，必须用别的方法去判断f'(0) ：

f'(0)=\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{xsin(1/x)-0}{x-0}=sin(1/x) ，即f(x) 在x=0 点并不可导。

4 从连续到可导

继续改造f(x) ：

\begin{eqnarray} f(x)= \begin{cases} x^2sin(1/x) &x\neq 0\cr 0, &x=0 \end{cases} \end{eqnarray}

我们容易推出，h(x)=-|x|^2 \le x^2sin(\frac{1}{x}) \le g(x)=|x|^2 :

至此，f(x) 终于可导了，但是它的导函数：

\begin{eqnarray} f'(x)= \begin{cases} 2xsin(1/x)-cos(1/x) &x\neq 0\cr 0, &x=0 \end{cases} \end{eqnarray}

用海涅定理也很容易证明：

取x_n=\frac{1}{n\pi}\to0 。则:

\displaystyle\lim_{n\to\infty}2xsin(\frac{1}{x_n})-cos(\frac{1}{x_n})=(-1)^n

这个极限是不存在的。因此f'(x) 在x=0 处极限是不存在的，继而f'(x) 在x=0 处不连续。

5 构造多点不连续的导函数

上面我们从一个周期性函数sin(x) ,和一个非一致连续的函数\frac{1}{x} 出发,构造出了导函数具有一个间断点的函数。

我们还可以据此，构造出导函数具有两个间断点的函数：

\begin{eqnarray} f(x)= \begin{cases} x^2(1-x)^2sin(\frac{1}{x(1-x)}) & 0 < x < 1\cr 0, &else \end{cases} \end{eqnarray}

它的导数图像如下:

根据这个方法甚至可以创造导函数具有无穷多个间断点的函数。

6 原函数存在定理的证明

试证明：含有一类间断点、无穷间断点的函数f(x) 在包含该间断点的区间内必没有原函数F(x) 。

证：假设F(x) 为f(x) 的原函数\implies F'(x)=f(x) ，设x=x_0 为间断点，分情况讨论：

(1) 设x=x_0 为第一类可去间断点，有\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)\neq f(x_0) 。而\displaystyle F'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} ，使用洛必达法则得到F'(x_0)=\lim_{x\to x_0}F'(x) ，即\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)= f(x_0) ，矛盾，所以F(x) 不存在。

第一类跳跃间断点和无穷间断点同理可证。

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不能。例如f(x)=x^2sin\frac{1}{x} ，在x=0处可以按照定义计算导数值为0，x非0时按照公式可以求得f'(x)=2xsin\frac{1}{x}-cos\frac{1}{x}，因此在x=0处不连续。

zero的问题在于混淆了左右导数和导数的左右极限。

不可以， 反例如下：

f(x)=x^2sin(1/x) 在[-1,1]上处处可导。 但 f ' (0)=0, f ' (x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)，在0 点不连续。

首先，闭区间上的导数是如何定义呢？闭区间端点处的导数是无法定义的

轻松学习高等数学 | 2.9 闭区间上连续函数的性质